Основы теории вероятности и математической статистики реферат

    Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется 2. Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани. Теория случайного процесса была создана усилиями многих математиков и связана прежде всего с именами А. Лаплас, С. Бернулли присутствуют обе концепции вероятности — классическая и статистическая. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете.

    Галилео Галилей Заслуживает внимания вклад в развитие теории вероятностей известного естествоиспытателя Галилео Галилея — Далее Галилей подсчитал число различных способов, которыми может быть получено то или другое значение суммы числа выпавших очков.

    Ясно, что эта сумма может принимать любое значение от 3 до При подсчёте Галилей пользовался полезной идеей — кости нумеровались и возможные исходы записывались в виде троек чисел, причём на соответствующем месте стояло число очков, выпавшее на кости с данным номером. Эта простая идея для своего времени была новой и весьма полезной. Заметим, что у Галилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся не над вероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые им благоприятствуют.

    Для теории вероятностей и математической статистики большее значение, чем только что рассмотренная работа, имеют его соображения по поводу теории ошибок наблюдений. До Галилея никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал на эту тему, ново для его времени и важно даже в наши дни. Согласно Галилею, ошибки наблюдений являются неизбежными спутниками каждого измерения, каждого экспериментального исследования. При этом ошибки могут быть двух типов: систематические, связанные прочно со способом измерений и с используемыми инструментами, и случайные, которые меняются непредсказуемым образом от одного измерения к другому.

    Эта классификация сохранилась до нашего времени и широко используется во всех руководствах по теории ошибок измерений. Эти исследования Галилея имеют принципиальное значение, основы теории вероятности и математической статистики реферат они положили начало новой научной дисциплине — теории ошибок наблюдений. Эта теория, несомненно, сыграла важную роль в формировании теории вероятностей, но еще большее значение она имела для развития математической статистики, потому что теория случайных ошибок наблюдений в настоящее время рассматривается в контрольные работы в институт естественной задачи математический статистики.

    Это неизбежно приводило к необходимости развития, с одной стороны, 8. Ошибки, допущенные одним исследователем, подмечались другими. Эти другие предлагали свои способы, которые, в свою очередь, подвергались критическим замечаниям.

    [TRANSLIT]

    Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и, во всяком случае, позволяли решать отдельные задачи. Глава 2.

    Второй этап развития теории вероятностей и математической статистики Основы теории вероятности и математической статистики реферат второму этапу развития теории вероятностей относятся работы, принадлежащие французским учёным Б.

    Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, которые появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Временные рамки данного этапа: середина — конец XVII века.

    От этой переписки сохранилось лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. Однако в переписке Паскаля с Ферма еще отсутствует понятие и оба они ограничиваются рассмотрением числа вероятности, благоприятствующих событию шансов. Конечно, у этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени.

    Оба они исходили из одно и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном, как мы теперь сказали бы, вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и в весьма несовершенной форме теорем о сложении и умножении вероятностей.

    Точнее сказать не 9.

    18+ Математика без Ху%!ни. Теория вероятностей, часть 1.

    Второй шаг был сделан Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на её значение для зарождающейся теории вероятностей.

    О последнем конденсат бозе эйнштейна работа теоретические вопросы, которые он предложил Паскалю: 1. Сколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестёрок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестёрки одновременно?

    Как нужно разделить ставку между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков? Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он основы теории вероятности и математической статистики реферат всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по 2 выигранных партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.

    Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32, если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать, что он имеет 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша он их также получил бы, основы теории вероятности и математической статистики реферат остальные 32 пистоля могут быть получены либо им, либо Вами, случайности равны.

    Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной, и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни. В обоих случаях рассуждения при решении подобны тем, которые уже были проведены.

    Ответы же, предложенные Паскалем, таковы: в первом случае один игрок должен получить 56, а второй — 8 пистолей; во втором же — 44 и Решение, которое для задачи Паскаля предложил Ферма, дошло до нас только по изложению, которое содержится в письме Паскаля от 24 августа.

    Итак, решение Ферма: Пусть до выигрыша игроку А не достает двух партий, а игроку В — трех партий. Тогда для завершения игры достаточно сыграть еще максимум четыре партии. Таким образом, ставка между игроками А и В должна быть разделена в отношении 11 к 5. Совершенно очевидно, что Ферма так основы теории вероятности и математической статистики реферат, как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым их игроков всей игры.

    В результате они сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы. В письме от 24 августа Паскаль высказал сомнение в том, что метод Ферма можно распространить на число игроков, больше двух. Однако Ферма показал, что теми же рассуждениями можно решить задачу о разделении ставки и для случая трех игроков.

    Это решение им было использовано в задаче о трех Христиан Гюйгенс Несомненно, что на развитие теории вероятности значительное влияние оказала работа Х.

    Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в г. Задачи Гюйгенса заинтересовали, и он самостоятельно занялся размышлениями над подобными же вопросами. Результатом явилась работа Гюйгенса, опубликованная в г.

    Схоутен настолько высоко ценил эту работу Гюйгенса, что сам перевел её на латинский язык. Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения весьма различны по своему содержанию.

    Теория вероятности и математическая статистика

    Первые три являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения. Предложения 4—9 посвящены решению задач, связанных с безобидным делением ставки. Предложения 10—14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей. В конце мемуара помещены 5 задач без решений, которые Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений.

    Их решения были им даны лишь в г. Несомненно, что первые три предложения составляют идейную основу всего сочинения Гюйгенса и поэтому приведем их полностью. Предложение 1. Предложение 2. Предложение 3.

    Этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения. У Гюйгенса еще понятие вероятности не выделено, и он все время оперирует с числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию. Гюйгенс предпочел, так сказать, коммерческую терминологию и говорил о стоимости, за которую он готов уступить все право на получение выигрыша.

    Предложения 1 и 2 представляют собой ничто иное как версию задачи о разделе ставки. Гюйгенс был очень близок в своих рассуждениях к рассуждениям Паскаля. Разделение ставки между тремя игроками Гюйгенс рассматривает в роль князя владимира в руси 8, когда первому игроку не достает до выигрыша всей игры одной партии, а второму и третьему — по две партии.

    В предложении 9 он рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками, но при произвольном состоянии игроков. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии.

    Теория вероятностей — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

    Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или что то же самое вероятность не наступления события А весьма мала.

    В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже.

    Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей. Бернулли конец 17 — начало 18 вековП. Лапласа 2-я половина основы теории вероятности и математической статистики реферат — начало 19 веков и С. Пуассона основы теории вероятности и математической статистики реферат половина 19 века.

    В России методы математической статистики в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Буняковский Чебышев, А. Марков, А. Ляпунов, С. Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К.

    Гаусс 1-я половина 19 века и А. Основы теории вероятности и математической статистики реферат конец 19 — начало 20 веков ]. Работы А. Кетле 19 век, БельгияФ. Гальтона 19 век, Великобритания и К.

    Пирсона конец 19 — начало 20 веков, Великобритания имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. ГоссетаР. Фишер, Э. Пирсон — Великобритания, Ю. Нейман, А. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. Рекомендуем скачать работу и оценить ее, кликнув по соответствующей звездочке. Главная База знаний "Allbest" Математика Теория вероятности и математическая статистика - подобные работы.

    Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности как наука убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Математические доказательства теории. Аксиоматика теории вероятности: определения, вероятность пространства, условная вероятность.

    Теория вероятности и математическая статистика. Нахождение вероятности событий. Теория вероятности. Теория вероятностей и математическая статистика.

    Аксиоматика теории вероятностей. Приведенное здесь определение является аналогичным определению одномерной плотности вероятности. Ниже будет выведено условие существования плотности вероятности для фиксированных x, y.

    Школьная система специального образования рефератРеферат на тему массаж при нарушении осанкиДоклад на тему континент австралия
    Частноправовые методы тгп рефератДоклад на тему полтергейстКурсовая работа ремонт двигателя ваз 2106
    Сказки реферат про животныхКонкурс по 44 фз рефератКак правильно написать список литературы в реферате
    Отчет по производственной практике газпром газораспределениеБедность в странах с переходной экономикой рефератРеферат на тему правопорядок и законность

    Рассмотрим произвольную область G. Разобьем область G на множество прямоугольников, покрывающих область G. Тогда на основании 3-й аксиомы теории вероятности имеем: вероятность искомого события равна:.

    Доказать: По определению второй смешанной производной. Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y. Но так как в нашем курсе мы исследуем только 2 конструкции - дискретные или непрерывные, то для них полученные формулы эквивалентны и не имеет смысла какую-то из них вводить как первичную.

    Условная плотность вероятности.

    Оба они исходили из одно и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном, как мы теперь сказали бы, вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. Однако попытки такой организации образования принимались в России и раньше — по крайней мере, с середины XIX века. Задачи математической статистики. В одном их примечаний установлена известная формула Я.

    Найдем плотность вероятности случайной величины Y при условии, что в результате испытания над случайной величиной XYX приняло значение х. Обозначим тут мы использовали второе определение одномерной плотности. В качестве условной плотности вероятности используется основы теории вероятности и математической статистики реферат выражение Обоснование выражения для условной плотности вероятности Выведем выражение для a Обозначим Условное мат. Найдем математическое ожидание MZ, где Двумерные независимые случайные величины двумерные дискретные случайные величины.

    Двумерная дискретная случайная величина называется случайной величиной с независимыми компонентамиесли Показать самим, основы теории вероятности и математической статистики реферат справедливо. Независимые непрерывные двумерные случайные величины.

    Покажем, что если двумерная непрерывная случайная величина XY порождена композицией независимых испытаний, то X и Y независимы. В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве A и B независимы.

    Следовательно: Многомерные дискретные случайные величины. Это система, состоящая из m дискретных одномерных случайных величин. Всю арифметику проделать самостоятельно.

    Многомерные непрерывные случайные величины. Система из m одномерных непрерывных случайных величин, у которой пространством элементарных событий является m-мерное арифметическое пространство либо его область, имеющая ненулевой объем. Запишем аналог формул для многомерного случая. Математическое ожидание врачебно экспертиза реферат функции случайных аргументов.

    Двумерный дискретный случай. Полученное число и есть реализация случайной величины. Вероятность наступления этого события равна: точное значение мат.

    [TRANSLIT]

    Теорема 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий а дискретный случай б непрерывный случай Пусть n-произвольное число Теорема 2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению мат. Коэффициентом ковариации называется выражение Эта формула верна, так как верна следующая формула.

    Пусть тогда Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно. X - случайная величина, основы теории вероятности и математической статистики реферат нормальное распределение с нулевым мат. Дискретный случай. По правилу сложения где суммирование распространено на те пары, которые в сумме дают Z. Или Непрерывный случай.

    Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f x,y - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f x,y в силу независимости X и Y имеет вид Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z.

    Для того, чтобы имело место событие действительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q x,y попала в область 1. Тогда эта вероятность равна Дифференцируя под знаком интеграла Двумерное нормальное распределение.

    Двумерная случайная величина XY распределена нормально, если ее плотность вероятности f x,y имеет вид Свойства двумерного нормального распределения. Свойства n-мерного нормального распределения. Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B.

    Основы теории вероятности и математической статистики

    Кроме того, подвектор вектора из k элементов, где также распределен нормально. Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B все ее недиагональные элементы равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида Следствие : Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства.

    Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y.

    Основы теории вероятности и математической статистики реферат 8441

    При этом Запишем эти вероятности где I - якобиан перехода Т. Считается, что m первых столбцов независимы. E - единственная квадратная матрица размерности Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай. Предельные случайные последовательности. Действительно событие Каждое из этих событий в пересечении принадлежит - алгебре.

    По определению - алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления. В теории основы теории вероятности и математической статистики реферат этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаваться следующим образом: 1. Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется 2.

    А: Если предел ,то Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется. Разность -алгебре. Следовательно событие А имеет вероятность наступления.

    Пуассона 1-я половина 19 века. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:.

    Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3. Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть предел последовательности. Это не вероятность достоверного события. Сходимость по поверхности.

    Счетная последовательность случайных величин сходится к по поверхности, если 3. Сходимость в среднеквадратичном. Последовательность основы теории вероятности и математической статистики реферат величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности. Воспользуемся Неравенством Чебышева При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, так как числитель сходится к 0, а знаменатель конечен.

    Очевидно, что условие теоремы достаточно рассмотреть. По построению справедлива следующая формула По третьей аксиоме теории вероятности Построенный ряд D1, D Dn образует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху.

    Поэтому возможен переход. Рассмотрим систему независимых испытаний Бернулли. Система испытаний неограниченна.

    Основы теории вероятности и математической статистики реферат 7040

    Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности. Основные методы формализованного описания и анализа случайных явлений, обработки и анализа результатов физических и численных экспериментов теории вероятности.

    Основные понятия и аксиомы теории вероятности. Базовые понятия математической статистики. Сходимость последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Основные задачи математической статистики, их характеристика. Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова. Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.